Resolución de ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo.

Así en la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica.

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas.

Cómo se resuelven ecuaciones logarítmicas

Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B.

Una vez conseguido, se aplica la equivalencia

log A = log B  A = B,

deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas.

Ejercicio:

 Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9).

Resolución:

log x² = log 10 + log ( x - 0' 9)

log x² = log [10 (x - 0' 9)]  x² = 10 (x - 0' 9)

x² = 10x - 9  x² - 10x + 9 = 0

Logaritmos

Definición de logaritmo:

Sea x un número. El logaritmo de ese número es el exponente al que hay que elevar cierta base b para obtener x:
x = by   y = logb x 
Ejemplo:

El logaritmo de 16 en base 2 es el exponente al que hay que elevar la base 2 para obtener 16, es decir, cuatro:
log2 16=4,ya que 16=2y  y=log2 16=4 

Logaritmos naturales:

Los logaritmos que tienen como base al número e, son llamados “logaritmos naturales”. Se simbolizan con la abreviatura ln.
lnx=loge x 

Cambio de base en los logaritmos:
Si queremos expresar loga x mediante logb x sólo tenemos que tener en cuenta que:

Propiedades:

Ejemplos 

1. log2 64=log2 26 =6⋅log2 2=6⋅1=6 11 11

 

2. log2 2=log2 22 =2⋅log2 2=2⋅1=2

Funcion Exponencial de base e

La función exponencial de base e

Al igual que p, e  es un número irracional donde e = 2.71828...  La notación e para este número fue dada por Leonhard.

Definición:  Para un número real x,  la ecuación f(x) = e^x  define a la función exponencial de base e.

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = e^x.

La gráfica de f(x) = e^x  es:

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

La función  f(x) = e^x  es una  función exponencial natural.  
Como 2<e<3, la gráfica de 

f(x) = e^x  está entre f(x) = 2^x  y  f(x) = 3^x, como a continuación:

En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

Ejemplos:  Simplifica.

Ejemplo:  Halla el valor de x en  e ^{x + 1}  =  e ^{3x - 1}

1)  Simplifica:  (e ^{3x + 1}) (e ^{2x – 5}) 

2)  Halla el valor de x en  e^{3x – 4} =  e^2x

La gráfica de la función exponencial f(x) = e^-x  es: 

Gráfica de funciones exponenciales

Gráficas en funciones 

En primer lugar, comenzar con las propiedades de la gráfica de la función exponencial de base de una base, 

f (x) = a^x , a > 0 y no es igual a 1.

El dominio de la función f es el conjunto de todos los números reales. El rango de f es el intervalo (0, + infinito). 

La gráfica de f tiene una asíntota horizontal dada por y = 0. Función f tiene interceptar ay en (0, 1). f es una función creciente si a es mayor que 1 y una función decreciente si a es menor que 1. 

Es posible que desee revisar todas las propiedades anteriormente mencionadas de la función exponencial Interactiva.

Ejemplo : f es una función dada por 

f (x) = 3 ^{(x + 1)} - 2 

1. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales. Para encontrar el rango de f, empezamos con 
   3 ^x > 0 
   
   Multiplica ambos lados por 3, que es positivo. 
   3 ^x 3> 0 
   
   Usar las propiedades exponencial
   3 ^{(x + 1)} > 0 
   
   Resta 2 a ambos lados
   3 ^{(x + 1)} -2> -2 
   
   Esta última declaración sugiere que f (x)> -2. El rango de f es (-2, + inf). 
   
   
2. Como x disminuye sin límite, f (x) = 3 ^{(x + 1)} -2 enfoques -2.  
3. Para encontrar la intersección x tenemos que resolver la ecuación f (x) = 0
   3 ^{(x + 1)} - 2 = 0 
   
   Añadir de 2 a ambos lados de la ecuación de
   3 ^{(x + 1)} = 2 
   
   Vuelva a escribir la ecuación anterior en forma logarítmica
   x + 1 = log ₃ 2 
   
   Resuelva para x
   x = log ₃ 2 - 1 
   La intersección está dada por
   (0, f (0)) = (0,3 ^{(0 + 1)} - 2) = (0, 1). 
   
   
   
4. Hasta el momento tenemos el dominio, rango, x e intercepta y, y la asíntota horizontal. Necesitamos puntos extra.
   (-2, F (-2)) = (-2, 3 ^{(-2 + 1)} - 2) = (4, 1/3-2) = (4, -1,67) 
   
   
   (-4, F (-4)) = (-4, 3 ^{(-4 + 1)} - 2) = (-4, 2 ^-3) = (-4, -1,99) 
   
   Aprovechemos ahora toda la información anterior para graficar f. 
   
   
   

   ---

Igualados Problema Ejemplo : f es una función dada por 

f (x) = 2 ^{(x - 2)} + 1

Funciones Exponenciales

FUNCIONES EXPONENCIALES  

Comenzaremos observando las siguientes funciones:  f(x) = x²   y   g(x) = 2^x.   Las funciones f  y  g no son iguales.  La función f(x) = x² es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante.  Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2^x  es una función con una base constante elevada a una variable.  Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición:  Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b^x , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

                                  

 El dominio  es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2^x                                  

 

Propiedades de f(x) = b>0, b diferente de uno:

1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3)  El eje de x es la asíntota horizontal.

4)  Si  b > 1 (b, base), entonces b^x aumenta conforme aumenta x.

5)  Si  0 < b < 1, entonces b^x disminuye conforme aumenta x.

6)  La función f es una función uno a uno.

Función cuadrática

Una función cuadrática es la que tiene o puede tener la forma:

     y= f (x)= ax2  + bx + c

Las propiedades de una función cuadrática son las siguientes: 

1. La parábola, es e gráfico de la función cuadrática.
2. la gráfica de   y= f (x)= ax2  + bx + c intercepta al eje y en el punto (0,c)
3. Su gráfico es una parábola que el vértice es e punto [   -b  , f [    -b   ]].   
                                                                                                2a            2a
4. la recta vertical x =   -b   es una recta eje de simetría de su gráfico.
                                       2a
5. Si a>0 la parábola e abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo.   

Ejemplo:

   

                            

Las funciones lineales como modelos matemáticos

Aquí te facilitamos algunos pasos para transformar un modelo matemático a un enunciado super sencillos!!!

1. Primero que nada tenemos que leer muy bien el problema para su debido entendimiento y comprendimiento y a si irnos dando una idea de lo que se debe tener.

2. Tenemos que tener encuentra los valores dados para a si poderles asignar las variables determinadas  ya sea dependiente o independiente.

3. Se tiene que tomar en cuenta las formulas para poder dar un acomodo lógico a los datos, las cuales son:

4. Es importante identificar los pares ordenados y sustituimos en la ecuación y resolvemos las operaciones que se indican segun la formula, es a si como si fuera una receta de cocina.

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función polinomial de primer grado; esto es una función de la forma
 f(x) = ax+b donde a y b son constantes y a=0

Entonces  a=0 tenemos que f(x)=b  así que es la expresión de una función constante.

La expresión matemática de la función es una expiación de primer grado de la forma y=mx + b, quiere decir que que su gráfica es una recta con pendiente m, cuya intersección con el eje y es b ( o sea, si x=0, entonces y=b)

El dominio y el rango de una función lineal es el conjunto de los números reales (R).


>> Angulo de Inclinación de una Recta

 El ángulo de inclinación de una recta r en el plano cartesiano es el ángulo que forma la recta con él se mine positivo de las abscisas.

La inclinación de una recta se mide desde el eje de las x a la recta r, en sentido contrario al movimiento de las manecillas de un reloj y su valor está entre 0º y 180º, incluido 0º.

>> Pendiente de una  Recta 

La pendiente m de una recta r se define como la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta r.

O sea, es el cambio que existe en "x" es decir, a ver cuanto cambia la "y" respecto a la "x"

Formula: 

Si dos puntos A y B de coordenadas    (x₁, y₁) y  (x₁, y2)  respectivamente, pertenecen a una recta r de pendiente m y x_{1 =} x2 se tiene: 

Tenemos que : 

EJEMPLO :  2x + y = 4;  3x - 4y = 9.

Las ecuaciones y = -3x + 5  y  y = -2x  son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general.  Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes.  De manera que:

y = -3x + 5  en la forma general es  3x + y = 5

y = -2x  en la forma general es  2x + y = 0

La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto.  Pero lo podemos hacer cambiando términos de posición, esto es, y = -x + 2.  Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2). 

* Si la pendiente de una recta es positiva, entonces el valor de la variable y aúmenta m veces por cada unidad que aumenta el valor de x. En el ejemplo de la imagen la función es creciente.

* Si la pendiente de una recta es negativa, entonces el valor de y disminuye m veces por cada unidad que aumenta el valor de x. En el ejemplo de la imagen la función es decreciente.

La pendiente m de una recta es la razón de cambio de la variable y respecto al cambio de la variable 

x.  La razón de cambio es constante. 

Para obtener la gráfica  de la función y = -2x + 5, por ejemplo, se procede a tabular, es decir, se dan valores a la variable independiente x y se busca (por medio de las operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y, como se ilustra a continuación.

Función : y = -2x + 5

Una vez que los valores se han tabulado, se procede a representarlos graficamente.

La gráfica de una función  de primer grado se llama también función lineal porque su gráfica es siempre una línea  recta.

Generalizando, una función lineal o de primer grado es de la forma y = mx + b, donde m y b pueden tener valores positivos o negativos

Respecto de la función cuadrática o de segundo grado, esta se caracteriza por tener el término  x con exponente  y ; ejemplos de esta función son:

y = X+5; y = -3x +1; y = 4x-1; y = (x -3), etc.

LA FUNCIÓN POLINOMIAL

La expresión de una función polinomial de grado n es de la forma siguiente.

f(x) = a_nXⁿ+ a_{n1 − 1}Xⁿ− 1 + a_{n− 2}Xⁿ− 2 + ... + a₁+ a₀

_{Donde n es un número entero positivo y los coeficientes} a_n, a_{n− 1,} a_{n− 2, ...} a_{1 y}  a_{0  son constantes.}

 _{La constante} a_{n debe ser distinta de cero y por ser el coeficiente de mayor grado se llama COEFICIENTE PRINCIPAL . Por su parte} a_{0 se llama TERMINO CONSTANTE.} 

_Si a_{0 es diferente de  (}a_{0 = 0), entonces de acuerdo con el valor que tome n se tiene lo siguiente.}

°  Si n = 0, entonces f(x) = a_{0  Es una función de grado cero y se llama FUNCIÓN CONSTANTE.}

_{El cero POLINOMIAL, es decir, f(x)=0, no tiene grado ni coeficiente principal.} 

_{°  Si n=1, la función POLINOMIAL es de primer grado y se llama  FUNCIÓN LINEAL.}

f(x)=2x-5.

° Si n=2, la función polinomial es de segundo grado y recibe el nombre de FUNCIÓN CUADRATICA.

f(x)= x2- 5  +6









Tabla 1. Funciones polinomiales de grados 0, 1 y 2.

Ejemplo 2.-

FUNCIONES INVERSAS

>>Función Inversa

Si f es una función biónico a, entonces la inversa de , denotada por f-1, es la función formada al invertir todos los pares ordenados de f; es decir, f-1= {(y,x) / (x,y) está es f}.

De la misma definición aparecen propiedades siguientes de las funciones inversas.

>>Propiedades de las Funciones Inversas 

Si f-1 existe entonces:

1. Esta función es uno a uno. 

2. El dominio de f-1 es el rango de f .

3. El rango de f-1 es el dominio de f.

Si se intercambian los componentes de cada par ordenado de una función biunivoca f se obtiene otra función biyectiva,  llamada función inversa de f, que se representa con el símbolo f-1 (f inverso o el inverso de f) .


Halla la función inversa de:

SOLUCION

F= {(-3,5), (-2,8), (-1,11), (0,14), (1,17)}

F-1= {(5,-3), (8,-2), (11,-1), (14,0), (17,1)}


Nota:
Es importante saber que el -1 del símbolo f-1 no es un exponente negstivo, si no que es la forma de expresar que se trata de su función inversa.

 Ejemplo más preciso.

Si la función f es la inyectiva, así que por cada número en x en el dominio f o "y" existe un y solo un número y de su rango tal que f(x)=y como en la siguiente figura.

Así que tambien , para cada número y en el dominio f-1 existirá solo un número x  en el rango así que: f(y)=x 

>>Métodos para Determinar la Inversa de una Función f .

Para poder obtener la ecuación de f-1 se realizan los siguientes pasos:

1-. Sustituye el símbolo f(x) con y.

2-. Intercambia las variables x y y.

3-. Despeja y de la ecuación en términos de x.

4-. Sustituye y con el símbolo f-1(x)

EJEMPLO.

Halla la función inversa de la función f(x)=4x-5

SOLUCION

1-. Sustituir el símbolo f(x)=4x-5

 y=4x-5

2-. Intercambia las variables x y y:

x=4y-5

3-. Despeja y de la ecuación en términos de x:

4y -5 = x

4y = x + 5

y= x + 5 / 4

y = 1/4 x + 5/4

4-. Sustituye y con el símbolo f-1(x)

f-1(x) = 1/4 x + 5/4

En ambas la simetría es respecto al eje x.