Resolución de ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo.

Así en la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica.

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas.

Cómo se resuelven ecuaciones logarítmicas

Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B.

Una vez conseguido, se aplica la equivalencia

log A = log B  A = B,

deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas.

Ejercicio:

 Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9).

Resolución:

log x² = log 10 + log ( x - 0' 9)

log x² = log [10 (x - 0' 9)]  x² = 10 (x - 0' 9)

x² = 10x - 9  x² - 10x + 9 = 0

Logaritmos

Definición de logaritmo:

Sea x un número. El logaritmo de ese número es el exponente al que hay que elevar cierta base b para obtener x:
x = by   y = logb x 
Ejemplo:

El logaritmo de 16 en base 2 es el exponente al que hay que elevar la base 2 para obtener 16, es decir, cuatro:
log2 16=4,ya que 16=2y  y=log2 16=4 

Logaritmos naturales:

Los logaritmos que tienen como base al número e, son llamados “logaritmos naturales”. Se simbolizan con la abreviatura ln.
lnx=loge x 

Cambio de base en los logaritmos:
Si queremos expresar loga x mediante logb x sólo tenemos que tener en cuenta que:

Propiedades:

Ejemplos 

1. log2 64=log2 26 =6⋅log2 2=6⋅1=6 11 11

 

2. log2 2=log2 22 =2⋅log2 2=2⋅1=2

Funcion Exponencial de base e

La función exponencial de base e

Al igual que p, e  es un número irracional donde e = 2.71828...  La notación e para este número fue dada por Leonhard.

Definición:  Para un número real x,  la ecuación f(x) = e^x  define a la función exponencial de base e.

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = e^x.

La gráfica de f(x) = e^x  es:

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

La función  f(x) = e^x  es una  función exponencial natural.  
Como 2<e<3, la gráfica de 

f(x) = e^x  está entre f(x) = 2^x  y  f(x) = 3^x, como a continuación:

En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

Ejemplos:  Simplifica.

Ejemplo:  Halla el valor de x en  e ^{x + 1}  =  e ^{3x - 1}

1)  Simplifica:  (e ^{3x + 1}) (e ^{2x – 5}) 

2)  Halla el valor de x en  e^{3x – 4} =  e^2x

La gráfica de la función exponencial f(x) = e^-x  es: 

Gráfica de funciones exponenciales

Gráficas en funciones 

En primer lugar, comenzar con las propiedades de la gráfica de la función exponencial de base de una base, 

f (x) = a^x , a > 0 y no es igual a 1.

El dominio de la función f es el conjunto de todos los números reales. El rango de f es el intervalo (0, + infinito). 

La gráfica de f tiene una asíntota horizontal dada por y = 0. Función f tiene interceptar ay en (0, 1). f es una función creciente si a es mayor que 1 y una función decreciente si a es menor que 1. 

Es posible que desee revisar todas las propiedades anteriormente mencionadas de la función exponencial Interactiva.

Ejemplo : f es una función dada por 

f (x) = 3 ^{(x + 1)} - 2 

1. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales. Para encontrar el rango de f, empezamos con 
   3 ^x > 0 
   
   Multiplica ambos lados por 3, que es positivo. 
   3 ^x 3> 0 
   
   Usar las propiedades exponencial
   3 ^{(x + 1)} > 0 
   
   Resta 2 a ambos lados
   3 ^{(x + 1)} -2> -2 
   
   Esta última declaración sugiere que f (x)> -2. El rango de f es (-2, + inf). 
   
   
2. Como x disminuye sin límite, f (x) = 3 ^{(x + 1)} -2 enfoques -2.  
3. Para encontrar la intersección x tenemos que resolver la ecuación f (x) = 0
   3 ^{(x + 1)} - 2 = 0 
   
   Añadir de 2 a ambos lados de la ecuación de
   3 ^{(x + 1)} = 2 
   
   Vuelva a escribir la ecuación anterior en forma logarítmica
   x + 1 = log ₃ 2 
   
   Resuelva para x
   x = log ₃ 2 - 1 
   La intersección está dada por
   (0, f (0)) = (0,3 ^{(0 + 1)} - 2) = (0, 1). 
   
   
   
4. Hasta el momento tenemos el dominio, rango, x e intercepta y, y la asíntota horizontal. Necesitamos puntos extra.
   (-2, F (-2)) = (-2, 3 ^{(-2 + 1)} - 2) = (4, 1/3-2) = (4, -1,67) 
   
   
   (-4, F (-4)) = (-4, 3 ^{(-4 + 1)} - 2) = (-4, 2 ^-3) = (-4, -1,99) 
   
   Aprovechemos ahora toda la información anterior para graficar f. 
   
   
   

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Igualados Problema Ejemplo : f es una función dada por 

f (x) = 2 ^{(x - 2)} + 1

Funciones Exponenciales

FUNCIONES EXPONENCIALES  

Comenzaremos observando las siguientes funciones:  f(x) = x²   y   g(x) = 2^x.   Las funciones f  y  g no son iguales.  La función f(x) = x² es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante.  Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2^x  es una función con una base constante elevada a una variable.  Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición:  Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b^x , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

                                  

 El dominio  es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2^x                                  

 

Propiedades de f(x) = b>0, b diferente de uno:

1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3)  El eje de x es la asíntota horizontal.

4)  Si  b > 1 (b, base), entonces b^x aumenta conforme aumenta x.

5)  Si  0 < b < 1, entonces b^x disminuye conforme aumenta x.

6)  La función f es una función uno a uno.

Función cuadrática

Una función cuadrática es la que tiene o puede tener la forma:

     y= f (x)= ax2  + bx + c

Las propiedades de una función cuadrática son las siguientes: 

1. La parábola, es e gráfico de la función cuadrática.
2. la gráfica de   y= f (x)= ax2  + bx + c intercepta al eje y en el punto (0,c)
3. Su gráfico es una parábola que el vértice es e punto [   -b  , f [    -b   ]].   
                                                                                                2a            2a
4. la recta vertical x =   -b   es una recta eje de simetría de su gráfico.
                                       2a
5. Si a>0 la parábola e abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo.   

Ejemplo:

   

                            

Las funciones lineales como modelos matemáticos

Aquí te facilitamos algunos pasos para transformar un modelo matemático a un enunciado super sencillos!!!

1. Primero que nada tenemos que leer muy bien el problema para su debido entendimiento y comprendimiento y a si irnos dando una idea de lo que se debe tener.

2. Tenemos que tener encuentra los valores dados para a si poderles asignar las variables determinadas  ya sea dependiente o independiente.

3. Se tiene que tomar en cuenta las formulas para poder dar un acomodo lógico a los datos, las cuales son:

4. Es importante identificar los pares ordenados y sustituimos en la ecuación y resolvemos las operaciones que se indican segun la formula, es a si como si fuera una receta de cocina.