Función cuadrática

Una función cuadrática es la que tiene o puede tener la forma:

     y= f (x)= ax2  + bx + c

Las propiedades de una función cuadrática son las siguientes: 

1. La parábola, es e gráfico de la función cuadrática.
2. la gráfica de   y= f (x)= ax2  + bx + c intercepta al eje y en el punto (0,c)
3. Su gráfico es una parábola que el vértice es e punto [   -b  , f [    -b   ]].   
                                                                                                2a            2a
4. la recta vertical x =   -b   es una recta eje de simetría de su gráfico.
                                       2a
5. Si a>0 la parábola e abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo.   

Ejemplo:

   

                            

Las funciones lineales como modelos matemáticos

Aquí te facilitamos algunos pasos para transformar un modelo matemático a un enunciado super sencillos!!!

1. Primero que nada tenemos que leer muy bien el problema para su debido entendimiento y comprendimiento y a si irnos dando una idea de lo que se debe tener.

2. Tenemos que tener encuentra los valores dados para a si poderles asignar las variables determinadas  ya sea dependiente o independiente.

3. Se tiene que tomar en cuenta las formulas para poder dar un acomodo lógico a los datos, las cuales son:

4. Es importante identificar los pares ordenados y sustituimos en la ecuación y resolvemos las operaciones que se indican segun la formula, es a si como si fuera una receta de cocina.

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función polinomial de primer grado; esto es una función de la forma
 f(x) = ax+b donde a y b son constantes y a=0

Entonces  a=0 tenemos que f(x)=b  así que es la expresión de una función constante.

La expresión matemática de la función es una expiación de primer grado de la forma y=mx + b, quiere decir que que su gráfica es una recta con pendiente m, cuya intersección con el eje y es b ( o sea, si x=0, entonces y=b)

El dominio y el rango de una función lineal es el conjunto de los números reales (R).


>> Angulo de Inclinación de una Recta

 El ángulo de inclinación de una recta r en el plano cartesiano es el ángulo que forma la recta con él se mine positivo de las abscisas.

La inclinación de una recta se mide desde el eje de las x a la recta r, en sentido contrario al movimiento de las manecillas de un reloj y su valor está entre 0º y 180º, incluido 0º.

>> Pendiente de una  Recta 

La pendiente m de una recta r se define como la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta r.

O sea, es el cambio que existe en "x" es decir, a ver cuanto cambia la "y" respecto a la "x"

Formula: 

Si dos puntos A y B de coordenadas    (x₁, y₁) y  (x₁, y2)  respectivamente, pertenecen a una recta r de pendiente m y x_{1 =} x2 se tiene: 

Tenemos que : 

EJEMPLO :  2x + y = 4;  3x - 4y = 9.

Las ecuaciones y = -3x + 5  y  y = -2x  son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general.  Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes.  De manera que:

y = -3x + 5  en la forma general es  3x + y = 5

y = -2x  en la forma general es  2x + y = 0

La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto.  Pero lo podemos hacer cambiando términos de posición, esto es, y = -x + 2.  Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2). 

* Si la pendiente de una recta es positiva, entonces el valor de la variable y aúmenta m veces por cada unidad que aumenta el valor de x. En el ejemplo de la imagen la función es creciente.

* Si la pendiente de una recta es negativa, entonces el valor de y disminuye m veces por cada unidad que aumenta el valor de x. En el ejemplo de la imagen la función es decreciente.

La pendiente m de una recta es la razón de cambio de la variable y respecto al cambio de la variable 

x.  La razón de cambio es constante. 

Para obtener la gráfica  de la función y = -2x + 5, por ejemplo, se procede a tabular, es decir, se dan valores a la variable independiente x y se busca (por medio de las operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y, como se ilustra a continuación.

Función : y = -2x + 5

Una vez que los valores se han tabulado, se procede a representarlos graficamente.

La gráfica de una función  de primer grado se llama también función lineal porque su gráfica es siempre una línea  recta.

Generalizando, una función lineal o de primer grado es de la forma y = mx + b, donde m y b pueden tener valores positivos o negativos

Respecto de la función cuadrática o de segundo grado, esta se caracteriza por tener el término  x con exponente  y ; ejemplos de esta función son:

y = X+5; y = -3x +1; y = 4x-1; y = (x -3), etc.

LA FUNCIÓN POLINOMIAL

La expresión de una función polinomial de grado n es de la forma siguiente.

f(x) = a_nXⁿ+ a_{n1 − 1}Xⁿ− 1 + a_{n− 2}Xⁿ− 2 + ... + a₁+ a₀

_{Donde n es un número entero positivo y los coeficientes} a_n, a_{n− 1,} a_{n− 2, ...} a_{1 y}  a_{0  son constantes.}

 _{La constante} a_{n debe ser distinta de cero y por ser el coeficiente de mayor grado se llama COEFICIENTE PRINCIPAL . Por su parte} a_{0 se llama TERMINO CONSTANTE.} 

_Si a_{0 es diferente de  (}a_{0 = 0), entonces de acuerdo con el valor que tome n se tiene lo siguiente.}

°  Si n = 0, entonces f(x) = a_{0  Es una función de grado cero y se llama FUNCIÓN CONSTANTE.}

_{El cero POLINOMIAL, es decir, f(x)=0, no tiene grado ni coeficiente principal.} 

_{°  Si n=1, la función POLINOMIAL es de primer grado y se llama  FUNCIÓN LINEAL.}

f(x)=2x-5.

° Si n=2, la función polinomial es de segundo grado y recibe el nombre de FUNCIÓN CUADRATICA.

f(x)= x2- 5  +6









Tabla 1. Funciones polinomiales de grados 0, 1 y 2.

Ejemplo 2.-

FUNCIONES INVERSAS

>>Función Inversa

Si f es una función biónico a, entonces la inversa de , denotada por f-1, es la función formada al invertir todos los pares ordenados de f; es decir, f-1= {(y,x) / (x,y) está es f}.

De la misma definición aparecen propiedades siguientes de las funciones inversas.

>>Propiedades de las Funciones Inversas 

Si f-1 existe entonces:

1. Esta función es uno a uno. 

2. El dominio de f-1 es el rango de f .

3. El rango de f-1 es el dominio de f.

Si se intercambian los componentes de cada par ordenado de una función biunivoca f se obtiene otra función biyectiva,  llamada función inversa de f, que se representa con el símbolo f-1 (f inverso o el inverso de f) .


Halla la función inversa de:

SOLUCION

F= {(-3,5), (-2,8), (-1,11), (0,14), (1,17)}

F-1= {(5,-3), (8,-2), (11,-1), (14,0), (17,1)}


Nota:
Es importante saber que el -1 del símbolo f-1 no es un exponente negstivo, si no que es la forma de expresar que se trata de su función inversa.

 Ejemplo más preciso.

Si la función f es la inyectiva, así que por cada número en x en el dominio f o "y" existe un y solo un número y de su rango tal que f(x)=y como en la siguiente figura.

Así que tambien , para cada número y en el dominio f-1 existirá solo un número x  en el rango así que: f(y)=x 

>>Métodos para Determinar la Inversa de una Función f .

Para poder obtener la ecuación de f-1 se realizan los siguientes pasos:

1-. Sustituye el símbolo f(x) con y.

2-. Intercambia las variables x y y.

3-. Despeja y de la ecuación en términos de x.

4-. Sustituye y con el símbolo f-1(x)

EJEMPLO.

Halla la función inversa de la función f(x)=4x-5

SOLUCION

1-. Sustituir el símbolo f(x)=4x-5

 y=4x-5

2-. Intercambia las variables x y y:

x=4y-5

3-. Despeja y de la ecuación en términos de x:

4y -5 = x

4y = x + 5

y= x + 5 / 4

y = 1/4 x + 5/4

4-. Sustituye y con el símbolo f-1(x)

f-1(x) = 1/4 x + 5/4

En ambas la simetría es respecto al eje x.