FUNCIONES INVERSAS

>>Función Inversa

Si f es una función biónico a, entonces la inversa de , denotada por f-1, es la función formada al invertir todos los pares ordenados de f; es decir, f-1= {(y,x) / (x,y) está es f}.

De la misma definición aparecen propiedades siguientes de las funciones inversas.

>>Propiedades de las Funciones Inversas 

Si f-1 existe entonces:

1. Esta función es uno a uno. 

2. El dominio de f-1 es el rango de f .

3. El rango de f-1 es el dominio de f.

Si se intercambian los componentes de cada par ordenado de una función biunivoca f se obtiene otra función biyectiva,  llamada función inversa de f, que se representa con el símbolo f-1 (f inverso o el inverso de f) .


Halla la función inversa de:

SOLUCION

F= {(-3,5), (-2,8), (-1,11), (0,14), (1,17)}

F-1= {(5,-3), (8,-2), (11,-1), (14,0), (17,1)}


Nota:
Es importante saber que el -1 del símbolo f-1 no es un exponente negstivo, si no que es la forma de expresar que se trata de su función inversa.

 Ejemplo más preciso.

Si la función f es la inyectiva, así que por cada número en x en el dominio f o "y" existe un y solo un número y de su rango tal que f(x)=y como en la siguiente figura.

Así que tambien , para cada número y en el dominio f-1 existirá solo un número x  en el rango así que: f(y)=x 

>>Métodos para Determinar la Inversa de una Función f .

Para poder obtener la ecuación de f-1 se realizan los siguientes pasos:

1-. Sustituye el símbolo f(x) con y.

2-. Intercambia las variables x y y.

3-. Despeja y de la ecuación en términos de x.

4-. Sustituye y con el símbolo f-1(x)

EJEMPLO.

Halla la función inversa de la función f(x)=4x-5

SOLUCION

1-. Sustituir el símbolo f(x)=4x-5

 y=4x-5

2-. Intercambia las variables x y y:

x=4y-5

3-. Despeja y de la ecuación en términos de x:

4y -5 = x

4y = x + 5

y= x + 5 / 4

y = 1/4 x + 5/4

4-. Sustituye y con el símbolo f-1(x)

f-1(x) = 1/4 x + 5/4

En ambas la simetría es respecto al eje x.