FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función polinomial de primer grado; esto es una función de la forma
 f(x) = ax+b donde a y b son constantes y a=0

Entonces  a=0 tenemos que f(x)=b  así que es la expresión de una función constante.

La expresión matemática de la función es una expiación de primer grado de la forma y=mx + b, quiere decir que que su gráfica es una recta con pendiente m, cuya intersección con el eje y es b ( o sea, si x=0, entonces y=b)

El dominio y el rango de una función lineal es el conjunto de los números reales (R).


>> Angulo de Inclinación de una Recta

 El ángulo de inclinación de una recta r en el plano cartesiano es el ángulo que forma la recta con él se mine positivo de las abscisas.

La inclinación de una recta se mide desde el eje de las x a la recta r, en sentido contrario al movimiento de las manecillas de un reloj y su valor está entre 0º y 180º, incluido 0º.

>> Pendiente de una  Recta 

La pendiente m de una recta r se define como la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta r.

O sea, es el cambio que existe en "x" es decir, a ver cuanto cambia la "y" respecto a la "x"

Formula: 

Si dos puntos A y B de coordenadas    (x₁, y₁) y  (x₁, y2)  respectivamente, pertenecen a una recta r de pendiente m y x_{1 =} x2 se tiene: 

Tenemos que : 

EJEMPLO :  2x + y = 4;  3x - 4y = 9.

Las ecuaciones y = -3x + 5  y  y = -2x  son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general.  Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes.  De manera que:

y = -3x + 5  en la forma general es  3x + y = 5

y = -2x  en la forma general es  2x + y = 0

La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto.  Pero lo podemos hacer cambiando términos de posición, esto es, y = -x + 2.  Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2). 

* Si la pendiente de una recta es positiva, entonces el valor de la variable y aúmenta m veces por cada unidad que aumenta el valor de x. En el ejemplo de la imagen la función es creciente.

* Si la pendiente de una recta es negativa, entonces el valor de y disminuye m veces por cada unidad que aumenta el valor de x. En el ejemplo de la imagen la función es decreciente.

La pendiente m de una recta es la razón de cambio de la variable y respecto al cambio de la variable 

x.  La razón de cambio es constante. 

Para obtener la gráfica  de la función y = -2x + 5, por ejemplo, se procede a tabular, es decir, se dan valores a la variable independiente x y se busca (por medio de las operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y, como se ilustra a continuación.

Función : y = -2x + 5

Una vez que los valores se han tabulado, se procede a representarlos graficamente.

La gráfica de una función  de primer grado se llama también función lineal porque su gráfica es siempre una línea  recta.

Generalizando, una función lineal o de primer grado es de la forma y = mx + b, donde m y b pueden tener valores positivos o negativos

Respecto de la función cuadrática o de segundo grado, esta se caracteriza por tener el término  x con exponente  y ; ejemplos de esta función son:

y = X+5; y = -3x +1; y = 4x-1; y = (x -3), etc.

LA FUNCIÓN POLINOMIAL

La expresión de una función polinomial de grado n es de la forma siguiente.

f(x) = a_nXⁿ+ a_{n1 − 1}Xⁿ− 1 + a_{n− 2}Xⁿ− 2 + ... + a₁+ a₀

_{Donde n es un número entero positivo y los coeficientes} a_n, a_{n− 1,} a_{n− 2, ...} a_{1 y}  a_{0  son constantes.}

 _{La constante} a_{n debe ser distinta de cero y por ser el coeficiente de mayor grado se llama COEFICIENTE PRINCIPAL . Por su parte} a_{0 se llama TERMINO CONSTANTE.} 

_Si a_{0 es diferente de  (}a_{0 = 0), entonces de acuerdo con el valor que tome n se tiene lo siguiente.}

°  Si n = 0, entonces f(x) = a_{0  Es una función de grado cero y se llama FUNCIÓN CONSTANTE.}

_{El cero POLINOMIAL, es decir, f(x)=0, no tiene grado ni coeficiente principal.} 

_{°  Si n=1, la función POLINOMIAL es de primer grado y se llama  FUNCIÓN LINEAL.}

f(x)=2x-5.

° Si n=2, la función polinomial es de segundo grado y recibe el nombre de FUNCIÓN CUADRATICA.

f(x)= x2- 5  +6









Tabla 1. Funciones polinomiales de grados 0, 1 y 2.

Ejemplo 2.-

FUNCIONES INVERSAS

>>Función Inversa

Si f es una función biónico a, entonces la inversa de , denotada por f-1, es la función formada al invertir todos los pares ordenados de f; es decir, f-1= {(y,x) / (x,y) está es f}.

De la misma definición aparecen propiedades siguientes de las funciones inversas.

>>Propiedades de las Funciones Inversas 

Si f-1 existe entonces:

1. Esta función es uno a uno. 

2. El dominio de f-1 es el rango de f .

3. El rango de f-1 es el dominio de f.

Si se intercambian los componentes de cada par ordenado de una función biunivoca f se obtiene otra función biyectiva,  llamada función inversa de f, que se representa con el símbolo f-1 (f inverso o el inverso de f) .


Halla la función inversa de:

SOLUCION

F= {(-3,5), (-2,8), (-1,11), (0,14), (1,17)}

F-1= {(5,-3), (8,-2), (11,-1), (14,0), (17,1)}


Nota:
Es importante saber que el -1 del símbolo f-1 no es un exponente negstivo, si no que es la forma de expresar que se trata de su función inversa.

 Ejemplo más preciso.

Si la función f es la inyectiva, así que por cada número en x en el dominio f o "y" existe un y solo un número y de su rango tal que f(x)=y como en la siguiente figura.

Así que tambien , para cada número y en el dominio f-1 existirá solo un número x  en el rango así que: f(y)=x 

>>Métodos para Determinar la Inversa de una Función f .

Para poder obtener la ecuación de f-1 se realizan los siguientes pasos:

1-. Sustituye el símbolo f(x) con y.

2-. Intercambia las variables x y y.

3-. Despeja y de la ecuación en términos de x.

4-. Sustituye y con el símbolo f-1(x)

EJEMPLO.

Halla la función inversa de la función f(x)=4x-5

SOLUCION

1-. Sustituir el símbolo f(x)=4x-5

 y=4x-5

2-. Intercambia las variables x y y:

x=4y-5

3-. Despeja y de la ecuación en términos de x:

4y -5 = x

4y = x + 5

y= x + 5 / 4

y = 1/4 x + 5/4

4-. Sustituye y con el símbolo f-1(x)

f-1(x) = 1/4 x + 5/4

En ambas la simetría es respecto al eje x. 

Bienvenidos

Bienvenidos a este nuevo blog, este te ayudara a mejorar academicamente  en la materia de matemáticas IV.

Ecuaciones que representan una función

• DATO:

Si una relación está definida por una ecuación con las variables x y y, donde la x es la variable independiente y la y la dependiente entonces será una función si a cada valor de x para el cual está definida la relación le corresponde un y solo un solo valor de y.


Ejemplo:

y=4x-5

En al ecuación y=4x -5, si x=3 entonces y=4(3) o sea y=7
Es claro que en esta ecuación cada valor de x le corresponde un de y por lo tanto es una función

Ejemplo:


En esta ecuación, si x=2







Dani aquí el ejemplo!




Se determina en esta ecuación que para x=2 entonces y=4 positivo o negativo. Ósea, (2,4) y (2-4).
Son pares ordenados de la ecuación del ejemplo por lo tanto no es una función.

Para confirmar si una gráfica es una función se utiliza la prueba recta vertical es lo sig:

Si la gráfica de una función es intersecada solo en UN PUNTO DEL DOMINIO POR CUALQUIER RECTA VERTICAL(Perpendicular al eje x) entonces la gráfica corresponde a una función, en caso de que la gráfica COINCIDE EN DOS O MÁS PUNTOS, entonces la gráfica no corresponde a una
función.

Ejemplos de gráficas que tienen función por qué solo tocan un punto 

Ejemplos de gráficas que no son una función ya que tocan dos o más puntos 

Clasificación de las funciones

Las funciones se clasifican en 8 tipos, por lo que se las describiremos:

Funciones

¿Que es una función?

Cuando hablamos de función nos referimos a una relación entre el conjunto de  elementos de A con un solo elemento B

A: Dominio de la función
B: Codominio y el conjunto de elementos que permanecen a B (rango)